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第二章 基本初等函数(Ⅰ) 小结与复习

第二章
一.教学目标 1.知识与技能

基本初等函数( 基本初等函数(Ⅰ) 小结与复习

(1)理解指数与对数,指数函数与对数函数的联系. (2)能更加熟练地解决与指数函数,对数函数有关的问题. 2.过程与方法 通过提问,分析点评,让学生更能熟悉指数函数,对数函数的性质. 3.情感、态度、价值观 (1)提高学生的认知水平,为学生塑造良好的数学认识结构. (2)培养学生数形结合的思想观念及抽象思维能力. 二.重点、难点 重点:指数函数与对数函数的性质。 难点:灵活运用函数性质解决有关问题。 三、学法与教具 1、学法:讲授法、讨论法。 2、教具:投影仪。 四、教学设想 1、回顾本章的知识结构

整数指数幂

定义 指数 对数 运算性质

有理数指数幂

无理数指数幂 定义 定义 指数函数 图象与性质 对数函数 图象与性质

2、指数与对数 指数式与对数式的互化 幂值 真数

a b = N ? log a N = b
底数 指数←→对数值 提问:在对数式中,a,N,b 的取值范围是什么? 例 1:已知 log 54 27 = a ,54b=3,用 a, b表示 log108 81 的值 解法 1:由 54 =3 得 log 54 3 =b ∴ log108 81 =
b

log 54 81 log 54 27 + log 54 3 a+b a+b = = = log 54 108 log 54 2 + 1 2 ? log 54 27 2 ? a
x

解法 2:由 log 54 27 = a 得 54 = 27 设 x = log108 81, 则108 = 81 所以 (54 × 27 ) = 3 × 27
2

?1 x

即: (54 2 × 54? a ) x = 54b × 54 a 所以 542 x ? ax = 54a +b , 即2 x ? ax = a + b 因此得: x =

a+b 2?a

(1)法 1 是通过指数化成对数,再由对数的运算性质和换底公式计算结果. 法 2 是通过对数化成指数,再由指数的运算性质计算出结果,但法 2 运算的技巧性较 大。 2.指数函数与对数函数 问题 1:函数 y = a 与y = log a 中,a与x 分别必须满足什么条件.
x x

问题 2:在同一直角坐标系中画出函数 y = a 与 log a 的图象,并说明两者之间的关系.
x x

问题 3:根据图象说出指数函数与对数函数的性质. 例 2: 已知函数 y ( x ) 的图象沿 x 轴方向向左平移 1 个单位后与 f ( x ) = 3x 的图象关于直 线 y = x 对称,且 g (19) = a + 2 ,则函数 y = 3ax (0 < x ≤ 1) 的值域为 分析:函数 y = 3 关于直线 y = x 对称的函数为 y = log 3 ( x ? 1)
x

.

∴ g (19) = log 3 18 = 2 + log 3 2 ∴ a = log 3 2, ∴ y = 3
ax

= (3log3 2 ) x = 2 x

∵ x ∈ (0,1], 则y ∈ (1, 2] 小结:底数相同的指数函数与对数函数关于 y = x 对称,它们之间还有一个关系式子:

a

log a N

= N (a ≠ 1, a > 0, N > 0) 1+ x 例 3:已知 f ( x ) = log a (a > 0且a ≠ 1) 1? x (1)求 f ( x ) 的定义域
(2)求使 f ( x ) > 0 的 x 的取值范围

分析: (1)要求 f ( x ) = log a 则应有

1+ x 的定义域, 1? x

?1 + x > 0 ?1 + x < 0 1+ x >0?? 或? 1? x ?1 ? x > 0 ?1 ? x < 0

( 2 ) 注 意 考 虑 不 等 号 右 边 的 0 化 为 log a1 , 则 ( 2 ) 小 题 变 为

log a

1+ x 1+ x 1+ x > log a 1, 再分a>1和0<a<1 两种情况分别求出 > 1和0 < < 1. 1? x 1? x 1? x
建议:通过提问由学生作答 课堂小结: 1.指数与对数实质上只是同一数量关系的两种不同的形式,它们之间可以互化,这种

等价互化也是指数运算和对数运算的常用方法. 2.底数相同的指数函数和对数函数互为反函数,它们的图象关于 y = x 对称,它们在 各自的定义域内增减性是一致的,通过函数图象,利用数形结合,记作指数函数与对数函数 的性质. 作业:P90 P91 A组 B组 3 3 7 4


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