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大学物理第20章磁场对电流的作用_图文

二十、磁场对电流的作用
(一)、洛仑兹力
洛仑兹力 洛仑兹力是磁场对运动电荷的作用。 方向:与q的正负有关 (1)、洛仑兹力

? ? ? +++ + (2)、带电粒子在磁场中的运动 B + + ?R + ? mv0 ? + 2?R m ?+ R? T? ? 2? F +? + qB v0 qB +q + + + v0 +
注意:洛仑兹力不做功

? ? 大小:F ? qvB sin(v , B)

? ? ? F ? qv ? B

? ? ? q ? 0, F与(v ? B)方向相同 ? ? ? q ? 0, F与(v ? B)方向相反

?

易出题目:1)带电正负不同,运动绕向不同 2)带电大小不同,运动半径不同 3)粒子质量不同,运动半径不同

? ? v0与 B 成 ? 角
? v?
R

+ ++ ? + +? + + v // +
h
T?

? v0

v// ? v0 cos ? v? ? v0 sin ?

? v?

+

? ?

? v0 v //

++ + +
? 2?

+++ + + + +
m

? B

++

R?

mv?

2?R

h ? v//T ? v//

2?m

(二)、霍尔效应(Hall effect)
1、实验现象 1897年Hall在美国哈佛大学作了一实验:

b I a

- - - - + + + + + B

A

? B

+

UH
-

实验表明:

IB UH ? b

IB U H ? KH b

2、理论分析 运动电荷 所受洛仑兹力:

f B ? qv B q ? ?e 电场力: f E ? qEH
二者平衡时:

U A ? U B ? ? EH a ? ?vBa I ? nqvS ? nevba
I v? neab
n为电子数密度

qv B ? qEH 霍尔电场: E ? v B H ? ? A ? fB B ?
? v ?+ + + fE ? B ? ? ? + I

IB U A ?UB ? ? neb 1 KH ? ? ne 1 ?q ? 0, K H ? 0,U H ? 0 ? ? nq ? q ? 0, K H ? 0,U H ? 0

3、用途

判定P,N型半导体

若q>0,为P型, H ? 0 U 若q<0,为N型, H ? 0 U

若电流I流向与图示相反,则 若q>0,为P型, U H ? 0 若q<0,为N型, U H ? 0

b I a

- - - - + + + + + B

A

? B

+

VH
-

(三)、安培定律 1、安培定律

?

i
?

Id l

?

B
S
?

dl
?

B

v

图 20-4 磁场对电流元的作用力

? ? 电流元 Idl 在磁感应强度 B 的磁场中受力

? ? ? dF ? Idl ? B

安培定律

dF 大小: ? IdlB sin ? ? 方向:右手螺旋,垂直 Idl ? 与 B 组成的平面

安培定律

? ? 电流元 Idl 在磁感应强度 B 的磁场中受力

? ? ? dF ? Idl ? B
? dF
? Idl

dF 大小: ? IdlB sin ? ? 方向:右手螺旋,垂直 Idl ? 与 B 组成的平面
一段载流导线受的安培力

磁 场

? B

?

? ? ? ? F ? ? dF ? ? Idl ? B

2、应用 例1:求两根无限长载流平行直导线间的相互作用。

? ? ? 安培定律:dF ? Idl ? B 大小:dF ? IdlB sin ? ? 方向:右手螺旋,dF 垂直于 ? ? Idl 和B组成的平面
2

dF21 ?0 I1 I 2 f 21 ? ? dl2 2? a

I

电流

2

1

? B

? ? I1dl1 I 2 dl2 ? ? dF12 dF21

I

电流

1

2

I

I

解:以电流

? 为研究对象,取电流元I 2 dl2

电流元 I 2 dl2 受到的安培力

?0 I1 B1 ? 2? a ?

在电流元处产生的磁感应强度为:

?0 I1 I 2 dF21 ? I 2 dl2 B1 ? dl2 2? a
单位长度受的安培力

a

1

I
2

? B

同理,电流

dF12 ?0 I1 I 2 f12 ? ? dl1 2? a

定义电流单位:安培( ) A
国际单位制(SI)中电流的单位安培可如此定义:

两直导线间距 a ? 1(m) 时,且通有相同的电流 I1 ? I 2 ? I 单位长度(1m)受的安培力大小为

F ? 2 ?10 ( N / m)
则I ? 2? aF

?0

1

I

单位长度受的安培力

?7

?

2? ?1? 2 ?10?7 ? 1( A) ?7 4? ? 10

例2:如图所示,载有电流 的无限长的直导线,沿 半径为R的半圆形电流 的直径AB放置,方向如图。 试求:1)半圆弧ACB所受安培力的大小和方向。 解:1)过圆心O取直角坐标系OXY,在圆弧上任取电流元 ? ? 则电流元处电流 I1 的磁感应强度 B I dl ,
2
1

? 0 I1 B1 ? 2? x 据安培定理得 ? ? ? dF ? I 2dl ? B1

2

I

? dF的方向变化,需分解

B

1

I

? I I dl 大小为 dF ? 0 1 2 2? x

方向如图

1

I

2

I

? y dFy dF

A
? d?

? B1 I 2 dl

dFx ?

x

C x dFx?

? dFy? dF ?

dFy ? dF cos ? dFx ? dF sin ?

由于对称性 Fy 因此

? ? dFy ? 0

F ? Fx ? ? dFx

F ? Fx ? ? dF sin ? ? ?0 I1 I 2 dl sin ? ?
2? x

?0 I1I 2 Rd? sin ? ?0 I1 I 2 R? ?? ? 2? R sin ? 2? R 0

?

?

? 0 I1 I 2
2

方向沿x正向

问:补成一个圆受力怎样?

? 受力 dF 分解成 dFx dFy ?0 I1I 2 可知,
Fy ? 0, Fx ? 2
因此,整个圆受的安培力

? 取电流元 I dl 2

方向沿x正向

F ? ? 0 I1 I 2 方向沿x正向

? dF ? ? ? dFx I 2 dl dFx ? ? I 2 dl dF dF R d? X
? B

Y dFy

y

? 解(方法一)对于圆弧取一电流元 Idl ,其受的安培力 ? ? ? dF ? Idl ? B 方向沿圆弧向外 ? 由对称性 dF 分解为x轴分量 dFx ? dF cos? y轴分量 dFy ? dF sin ? Fx ? ? dFx ? 0
F ? Fy ? ? dF sin ? ? ? BIdl sin ? ? ? IBR sin ? d? ? 2 IBR
0

例3:如图所示,在均匀磁场中有一圆弧电流acb,求 其所受的安培力。

?

y

c
R
a

? IBab ? Fab ?
方向向上

? d? Idl

? dF

? B

?

?

b

x

(方法二)补充导线ba使成回路acba,由安培力公式得 闭合电流在匀强磁场中受的安培力

? ? I和B是常量 ? ? ? F ? ? Idl ? B ? I ( ? dl ) ? B ? ?

? ? ??? ? 0

? ? dl ?0

? ? ? 即Facba ? Facb ? Fba ? 0 ? ? ? ? Fabc ? Fab ? IBab ? Facb ? ? Fba ? Fab ? ?
y

c
R
a

? d? Idl

? dF

?

?

结论: 1、闭合电流在匀强磁场中受到安 培力的矢量和为零 2、圆弧电流acb的安培力相当于直 线电流ab所受安培力 x

结论: 1、任意形状闭合电流在匀强磁场中受 到安培力矢量和为零 2、任意形状电流adb受的安培力相当 于直线电流ab所受安培力

解题思路和方法:
1、选定研究对象

2、确定磁场方向

? 3、在所求受力载流导线上取电流元 Idl ,分析其受力, ? ? ? ?
? 4、表示出 dF 沿各坐标轴的投影式,统一变量,确定积
分上下限,积分求出各分量

根据安培定律 dF ? Idl ? B 确定 dF 的大小和方向。

5、最后根据

F ? F ?F
2 x

2 y

求出 F ,方向按具体情况而定

(四)、磁场对载流线圈的作用
线圈各边受力为:

Fad ? ? BIdl sin(? ? ? ) ? BIl2 sin ?
0

l2

? Fad

l2
?

d

Fbc ? ? BIdl sin ? ? BIl2 sin ?
0

l2

? Fcd
?

a
l1

o

? Fcd

? Fab o ?

? Fbc

c

? n

a?
? Fab
? n

b

)

?

? B

d

o

?

? B

)

力偶矩:

Fab ? Fcd ? BIl1 sin

?
2

? BIl1

l2 M ? 2 F sin ? ? IBl1l2 sin ? ? IBS sin ? 2 l2 (或 ? 2rF cos ? ? 2 Fab cos ? ? IBl1l2 cos ? 2

a?

方向:沿转轴向上

? Fab

)

? ? 令P ? ISn 称为线圈磁矩 m ? ? ? ?M ? P ? B m

? IBS cos ? ? IBS cos( ? ? ) ? IBS sin ? ) 2 ?
Fcd
?

?

d

o

?

? B
? n

讨论: 1)? ? ? / 2, M ? IBS 最大值,使 ? 减少趋势。 2)? ? 0, M ? 0 3)? ? ? , M ? 0 结论可以推广到任意形状线圈。 线圈达稳定平衡。

线圈达非稳定平衡。

例4:有一半径为R的圆形线圈载有电流I,方向逆时针 ? ,在匀强磁场 B 中,求对OO’的力矩? ? 解:取电流元 Idl ,则受安培力为

dF ? IdlB sin ? ? IdlB sin( ? ? ) ? IdlB cos ? ? IBR cos ? d? 2 O ? dM ? rdF ? R cos? IBR cos? d? B 2?
r
? Idl
d? ?

?

?

M ? ? dM ?

? IBR
0

2

cos ? d?
2

?

? IB? R 2 ? IBS
? Idl

O’

? ?

?

? B

dF

M ? Pm B sin

? ? ? M ? P ?B m ?
2

方法二:

? IBS

(五)、磁力的功
1、载流导线在均匀磁场中运动时磁力所做的功 ? ? a ? a’ ? ab受力:F ? Il0 B方向向右 ? 导线由ab运动至a’b’ ? ? B

?

l0 F F ? ? ?
?
b?

?

b’ ?

??m:磁通量增量

A ? Faa? ? Il0 Baa? ? IB?S ? I ??m

2、载流线圈在均匀磁场内转动时磁力矩所做的功 F 线圈在磁力矩作用下转过小 d? 角度 d? 时,磁力矩做功: I

dA ? ? Md?

? n ? n'?

负号表明 M 使 ? 减小 d? 是增量

F

? B

dA ? ? Md? ? ? BIS sin ? d? ? BISd (cos ? ) ? Id ( BS cos ? ) ? Id?m
线圈从?1 转到 ? 2 时

A?

?2

? Id? ?
1

m

? I (?m 2 ? ?m1 ) ? I ??m

3、若电流随时间变化I=I(t),磁场也变化B=B(t)时

A ? ? dA ? ? ?Md? ? ? ? Pm B sin ? d? ? ? ? IBS sin ? d? ? ? ? ? I (t )d[ B(t )S cos ? ] ? ? I (t )d[ B(t ) ? S ] ? ? I (t )d?m (t )


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