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已整理肇庆市2008-2009学年第一学期期末高二数学(理科)试题及答案

肇庆市中小学教学质量评估 2008—2009 学年第一学期统一检测题 高二数学(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.如果一个几何体的正视图是三角形,则这个几何体可能是( (A) 三棱锥 (B) 三棱台 (C) 圆柱 ).

(D) 圆台

2.若△ABC 的两个顶点坐标 A(-4,0) ,B(4,0) ,△ABC 的周长为 18,则顶点 C 的轨迹方程是 ( (A)
y
2

).
? x
2

?1

25

9

(B)

x

2

?

y

2

? 1( x ? 0 )

25

9

(C)

x

2

?

y

2

? 1( y ? 0 )

25

9

(D)

y

2

?

x

2

? 1( y ? 0 )

25

9

3.设直线 a ? ? ,给出以下四个命题: ①若平面?//平面 β,则直线 a//平面 β; ②若直线 a//平面 β,则平面?//平面 β; ③若平面?不平行于平面 β,则直线 a 不平行于平面 β; ④若直线 a 不平行于平面 β,则平面?不平行于平面 β. 其中正确的命题是 (A) ①② ( (B) ③④ ). (C) ②③ (D) ①④ ).

4.如果命题“p 或 q”与命题“非 q” 都是真命题,那么( (A) 命题 p 一定是真命题 (C) 命题 p 不一定是真命题 (B) 命题 q 不一定是假命题

(D) 命题 p 与命题 q 的真假相同 ).

5.直线 3 x ? 4 y ? 6 ? 0 与圆 ( x ? 2 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? 4 的位置关系是( (A) 相离 (B) 相切 (C) 直线过圆心 (

(D) 相交但不过圆心 ). (D) 2
?
3

6.直线 x ? y ? 2 ? 0 上的点到原点的距离的最小值为 (A) 1 7.已知双曲线
x a
2 2

(B)
? y
2

2
? 1( a ? 2)

(C)

3

的两条渐近线的夹角为
2 6 3

,则双曲线的离心率为(
2 3 3

).

2

(A) 2

(B)

3

(C)

(D)

8.已知 A 和 B 是两个命题,如果 A 是 B 的充分但不必要条件,那么﹃A 是﹃B 的( (A) 充分条件 (C) 充分必要条件 (B) 必要条件 (D) 既不是充分条件也不是必要条件

).

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9.棱长为 a 的正方体的外接球的表面积为 10.已知直线斜率的绝对值为
3 3



. ▲ .

,则此直线的倾斜角为 ▲ ▲ . .

11.若 a ? b ? 4 , ? a , b ?? 60 ? ,则 a ? b ? 12.抛物线 y ?
1 a x ( a ? 0 ) 的焦点坐标是
2

13.已知空间四边形 OABC,点 M、N 分别是 OA 、 BC 的中点,若 OA ? a , OB ? b , OC ? c ,用 a、 b、c 表示 NM ? ▲ .
x a
2 2

14.设 F1、F2 分别是双曲线
AF 2 ? 3 AF 1

?

y b

2 2

? 1 的左、右焦点.

若双曲线上存在点 A,使 ? F1 AF 2 ? 90 ? ,且

,则双曲线的离心率为



.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分)已知圆锥的表面积为 am2,且它的侧面展开图是一个半圆,求这个圆锥的 体积.

16. (本小题满分 12 分)平面直角坐标系中有 A(0,1) ,B(2,1) ,C(3,4) ,D(-1,2)四点, 这四点能否在同一个圆上?为什么?

17. (本小题满分 14 分)如图,在边长为 2 的正方形 ABCD 中, (1)点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 的中点,将△AED,△DCF 分别沿 DE,DF 折起,使 A,C 两点重合于点 A′. 求证:A′D⊥EF.
A D

(2)当 BE=BF= BC 时,求三棱锥 A′-EFD 的体积.
4

1

A′

E E B C B F

D

F

18. (本小题满分 14 分)如图,从椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 上一点

P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左

焦点 F1, 是椭圆与 x 轴正半轴的交点, 是椭圆与 y 轴正半轴的交点, AB//OP,F1 A ? 10 ? 5 , A B 且 求此椭圆方程.
P y B

F1

O

A

x

19. (本小题满分 14 分)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形, PD=DC,E,F 分别是 AB,PB 的中点. (1)求证:EF⊥CD; (2)求 DB 与平面 DEF 所成角的正弦值; (3)在平面 PAD 内是否存在一点 G, 使 G 在平面 PCB 上的射影为△PCB 的外心, 若存在,试确定点 G 的位置;若不存在,说明理由.
A E B D F C P

20. (本小题满分 14 分)如图,抛物线 x 2 ? 2 py 与直线 l: y ? 经过抛物线的焦点. (1)求 p 的值; (2)求以线段 AB 为直径的圆的标准方程; (3)在抛物线上是否存在另外两点 C、D, 使四边形 ACBD 是平行四边形,若存在,请求出 C、D 两点的坐标,若不存在,请说明理由.

1 2

x?

1 2

相交于 A、B 两点,且直线 l

y l A B O x

2008—2009 学年第一学期统一检测题 高二数学(理科)参考答案及评分标准 一、选择题 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 A 5 C 6 B 7 D 8 B

二、填空题 9. 3? a 2 12. ( 0 , )
4 a

10.30°或 150° 13. ( a ? b ? c )
2 1

11. 4 14.
A
10 2

三、解答题 15. (本小题满分 12 分) 解: 如图,设圆锥的底面半径为 rm,母线长为 lm,高为 hm,
1 ? 2 ?? r ? 2 ? 2? r ? l ? a , ? 依题意得 ? ? 1 ? 2? r ? l ? 1 ? l 2 , ?2 2 ?

h r

l

(6 分)

O

B

? a , ?r ? 3? ? 解得 ? a ? l ? 2 . ? 3? ?

(8 分)

在 Rt△ABO 中, h 故圆锥的体积 V
1 3

?

l

2

?r

2

?

a

?
?

.

(10 分)

?

? ?

a 3?

?

a

a ?a 9?

?

(m3).

(12 分)

16. (本小题满分 12 分) 解: A(0,1) ,B(2,1) ,C(3,4) ,D(-1,2)四点在同一个圆上. (2 分)

显然 A(0,1) ,B(2,1) ,C(3,4)三点不在同一直线上,设经过 A,B,C 三点的圆 P 的方程 为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 . ① (4 分)

将 A,B,C

? E ? F ? ? 1, ? 三点的坐标代入①,得 ? 2 D ? E ? F ? ? 5 , ? 3 D ? 4 E ? F ? ? 25 . ?

(7 分)

? D ? ?2, ? 解得 ? E ? ? 6 , ? F ? 5. ?

即圆 P 的方程为 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 6 y ? 5 ? 0 .

(10 分)

把点 D 的坐标(-1,2)代入圆 P 的方程的左边,得 1+4+2-12+5=0,

(11 分)

所以,点 D 在经过 A,B,C 三点的圆上,即 A,B,C,D 四点在同一个圆上.(12 分) 17. (本小题满分 14 分) (1)证明:如图, 因为折叠前, AD⊥AE,CD⊥CF, 所以折叠后, A′D⊥A′E,A′D⊥A′F. 又 A′E∩ A′F= A′, 故 A′D⊥面 A′EF, (4 分) (5 分) (2 分)
B F C A D A′

(1 分)
E E B F D

又 EF ? 面 A ? EF ,所以 A′D⊥EF.
1

(2)解:当 BE=BF= BC 时,由(1)同理可得 A′D⊥面 A′EF,
4

所以 A′D 为三棱锥 D- A′EF 的高. 在 Rt△EBF 中, EF 在△A′EF 中, A ? E 所以 S ? A ? EF
17 8
? 1 3 S ? A ? EF ? D A ? ? 17 12 ? BE
2

(7 分)
2 2

? BF

2

?

,
3 2 2 2

(8 分) , (10 分) , (12 分) (14 分)

? A ? F ? CF ?

3 4

BC ?

, EF ?

?

.

故三棱锥 D- A′EF 的体积 V D ? A ? EF 即三棱锥 A′-EFD 的体积为
17 12

.

18. (本小题满分 14 分)解:如图,因 PF 1 ? x 轴,把 x ? ? c 代入椭圆方程,
y

解得 y

? ?

b

2

a

,所以点 P 的坐标是 ( ? c ,
? ? b
2

b

2

).

(2 分)
P B

a

直线 OP 的斜率 k OP

, .

(4 分)
F1 O A x

ac

直线 AB 的斜率 k AB ? ? 由 AB//OP,得
b
2

b a

(6 分) (8 分)

?

b a

,所以, b ? c , a ?

2c

ac

.

又 F1 A ? a ? c , a ? c ? 10 ? 5 , 所以 (1 ? 2 ) c ? 10 ? 5 ,解得 c ? 5 . 所以 a ? 10 , b ? 5 . 因此,椭圆的方程为
x
2

(10 分) (11 分) (13 分)

?

y

2

10

5

? 1.

(14 分)

19. (本小题满分 14 分)解:如图,建立直角坐标系,设 AD=a,则 A(a,0,0) ,B(a,a,0) C(0,a,0) , , D(0,0,0) ,E(a, P(0,0,a).
a 2

z P

,0) ,F(

a 2

, ,
2

a

a 2

) ,
F C y

(2 分)
D
a 2 ,0 , a 2 ) ? ( 0 , a ,0 ) ? 0

(1)因为 EF ? DC ? ( ? 所以 EF ? DC .



(4 分)
? n ? DE ? 0 , ? ? n ? DF ? 0 , ?

x

A

E

B

(2)设平面 DEF 的法向量为 n ? ( x , y , z ) ,由 ?
? ?( x, y , z ) ? ? 得? ?( x, y , z ) ? ? ? a ? ? ax ? 2 y ? 0 , ? 2 即? a a a ? a ( x ? y ? z ) ? 0, ( , , ) ? 0. ?2 2 2 2 ? (a, a ,0 ) ? 0 ,

取 x=1,则 y=-2,z=1,所以 n ? (1, ? 2 ,1) .
cos ? DB , n ?? DB ? n DB ? n ? ?a 2a ? 6 ? ? 3 6

(6 分) , (8 分)

设 DB 与平面 DEF 所成角为 θ,则 sin ?

?

3 6

.

(9 分)

(3)若存在点 G 满足题意,因为点 G∈平面 PAD,可设 G 点坐标为(x,0,z). 因为 CB ? CP ? ( a , 0 , 0 ) ? ( 0 , ? a , a ) ? 0 ,所以 BC ? PC . 在 Rt△PBC 中,F 为 PB 中点,所以 F ( , , ) 为 Rt△PBC 的外心.
2 2 2
FG ? ( x ? a 2 ,? a 2 ,z ? a 2
a a ? ?x ? , 得? 2 a a ? z ? 0. , z ? )( 0 , ? a , a ) ? 0 , ? 2 2 2 2 ,z ? a )( a , 0 , 0 ) ? 0 ,

a a a

(11 分)

),

a ? ? FG ? CB ? 0 , ? ( x ? , ? ? ? 2 得? 由? ? FG ? CP ? 0 , ? ( x ? a , ? ? ? 2 ?

(13 分)

所以存在点 G,其坐标为 ( , 0 , 0 ) ,即 G 点为 AD 的中点.
2

a

(14 分)
1

20. (本小题满分 14 分)解: (1)因为直线 y ? 依题意得抛物线的焦点为 F ( 0 , ) ,
2 1

1 2

x?

1 2

与 y 轴的交点为 ( 0 , ) , 分) (1
2

(2 分) (4 分)
B

y l

所以

p 2

?

1 2

,即 p=1.

A

(2)设 A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,AB 的中点 M ( x 0 , y 0 ) ,
? x 2 ? 2 y, ? 2 由方程组 ? 1 1 得x ? x ?1 ? 0 , x? , ?y ? 2 2 ?

O

x

所以 ?

? x 1 ? x 2 ? 1, ? x1 x 2 ? ? 1 .

(5 分)
2

x1 ? x 2 ?
AB ?

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?

5,

(6 分)
? AB 2 ? 5 4

1 2 5 1 ? ( ) x1 ? x 2 ? 2 2
x1 ? x 2 2 ? 1 2 , y0 ?

,所以圆的半径为 r
? 3 4 1 3 , ) 2 4

.

(7 分) (8 分)

又 x0

?

x0 ? 1 2

,即 M (

故以线段 AB 为直径的圆的标准方程为 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? ( ) 2 .
2 4 4

1

3

5

(9 分)
1 3 2 4

(3)四边形 ACBD 是平行四边形当且仅当 AB、CD 互相平分,即 CD 经过 AB 的中点 M ( , ) . (10 分) 显然,经过 M 点的直线 x ? 设 CD: y ?
3 4 ? k(x ? 1 2 )( k ? 1 2 1 2 3 2 3 2 ),

与抛物线只有一个交点,不合要求.

(11 分)

? x 2 ? 2 y, ? 由方程组 ? 3 1 ? k ( x ? ), ?y ? 4 2 ?

得 x 2 ? 2 kx ? ( k ? ) ? 0 .

(12 分)

设` C ( x 3 , y 3 ), D ( x 4 , y 4 ) ,则 x 3 ? x 4 ? 2 k , x 3 x 4 ? k ? 依题意 x 0 这与 k ?
1 2
? x3 ? x4 2 ? 1 2 , 即 2 k ? 1, 所以 k ? 1 2

, (13 分) (14 分)

.

矛盾,所以满足要求的平行四边形不存在.


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